Komposition stetiger Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Satz(Verkettungssätze)

Sei eine Teilmenge der reellen Zahlen und eine beliebige reelle Zahl. Seien reellwertige Funktionen, die in stetig sind. Es gilt also und . Unter diesen Voraussetzungen sind die folgenden Funktionen stetig in :

Sei und seien sowie stetig in . Dann ist die folgende Funktion stetig in :

Sei eine reellwertige Funktion mit . Sei in stetig, dann ist die Verkettung stetig in :

Aufgabe(Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Zeige, dass folgende Funktion stetig ist:

Wie kommt man auf den Beweis?(Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Die gegebene Funktion ist eine Verkettung verschiedener Funktionen. Zunächst müssen wir die Grundfunktionen dieser Verkettung finden. Diese sind:

Die Funktion kann dargestellt als:

Damit ist eine Verkettung stetiger Funktionen und somit wieder stetig.

Beweis(Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Seien folgende Funktionen gegeben:

Diese Funktionen sind stetig. Es ist außerdem . Damit ist eine Verkettung stetiger Funktionen und nach den Verkettungssätzen selbst wieder stetig.

Sei mit . Die Funktion ist eine Verkettung der folgenden Funktionen:

...Aufzählung der stetigen Funktionen, aus denen zusammengesetzt ist...

Wegen (Ausdruck mit den aufgezählten Funktionen) ist eine Verkettung stetiger Funktionen und damit selbst wieder eine stetige Funktion.

Satz(Verkettungssatz für Summen)

Sei und seien reellwertige Funktionen, die in stetig sind. Dann ist stetig in .

Beweis(Verkettungssatz für Summen)

Wir beweisen die Additionsregel der Stetigkeit über das Folgenkriterium. Sei hierzu eine Folge von Argumenten aus mit Grenzwert . Es ist:

Alternativer Beweis(Verkettungssatz für Summen)

Wir wollen die Stetigkeit von in mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums beweisen. Sei also ein gegeben. Da stetig bei ist, gibt es ein , sodass für alle mit die Ungleichung erfüllt ist. Ebenso gibt es ein , sodass für alle mit die Ungleichung gilt.

Setzen wir nun . Damit erfüllen alle mit beide Bedingungen und . Damit gilt für alle mit :

Satz(Verkettungssatz für skalare Multiplikationen)

Sei und . Sei außerdem eine reellwertige Funktion, die in stetig ist. Dann ist stetig in .

Beweis(Verkettungssatz für skalare Multiplikationen)

Wir wollen die Stetigkeit von in mit Hilfe des Folgenkriteriums beweisen. Sei dazu eine beliebige Folge mit für alle und . Da stetig in ist, existiert damit der Grenzwert . Es ist:

Satz(Verkettungssatz für Multiplikationen)

Sei und seien reellwertige Funktionen, die in stetig sind. Dann ist stetig in .

Beweis(Verkettungssatz für Multiplikationen)

Wir beweisen die Stetigkeit von mit Hilfe des Folgenkriteriums. Sei dazu eine beliebige Folge mit für alle und . Da sowohl als auch stetig in sind, existieren damit die Grenzwerte und . Es ist:

Satz(Verkettungssatz für Divisionen)

Sei und seien und zwei reellwertige Funktionen. Sei und seien sowie stetig in . Dann ist auch stetig in .

Beweis(Verkettungssatz für Divisionen)

Den Beweis werden wir mit Hilfe des Folgenkriteriums und dem Quotientenregel für Grenzwerte führen. Sei also eine beliebige Folge mit für alle und . Da sowohl die Funktion als auch die Funktion stetig an der Stelle sind, folgt und . Außerdem gilt , sodass für alle wohldefiniert ist. Nun gilt:

Satz(Verkettungssatz für Kompositionen)

Sei und eine Funktionen, die in stetig ist. Sei zusätzlich mit , die in stetig ist. Dann ist auch stetig in .

Beweis(Verkettungssatz für Kompositionen)

Wir wollen die Stetigkeit von in mit Hilfe des Folgenkriteriums beweisen. Sei dazu eine beliebige Folge mit für alle und . Dann ist eine Folge mit für alle (da ) und (da stetig). Somit gilt:

Aufgabe(Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Beweise mit der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit, dass folgende Funktion stetig ist:

Wie kommt man auf den Beweis?(Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Wir müssen zeigen, dass für jedes ein existiert, so dass alle mit die Ungleichung erfüllen. Hierzu betrachten wir zunächst die Zielungleichung und schätzen den Betrag geschickt nach oben ab. Da wir den Term kontrollieren können, schätzen wir so nach oben ab, dass wir den Betrag erhalten. Wir suchen also eine Ungleichung der Form

Dabei ist irgendein von und abhängiger Term. Der zweite Faktor ist kleiner als und kann damit durch eine geschickte Wahl von beliebig klein gemacht werden. Eine solche Abschätzung ist folgende:

Wegen ist:

Wenn wir so klein wählen, dass ist, folgt die Zielungleichung . Jedoch hängt von ab und diese Abhängigkeit würde sich auf vererben und wir dürfen nicht in Abhängigkeit von wählen. Deswegen müssen wir die Abhängigkeit des ersten Faktors von eliminieren. Dies erreichen wir, indem wir den ersten Faktor nach oben so abschätzen, dass wir eine Ungleichung der Form erreichen. Eine solche Umformung ist:

Wir haben sogar unabhängig von gemacht, was nicht nötig gewesen wäre. Somit haben wir die Ungleichung

Wir brauchen nun die Abschätzung , damit die Zielungleichung erfüllt ist. Die Wahl von ist hierfür ausreichend.

Beweis(Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Sei mit . Sei und beliebig. Wir wählen . Für alle mit gilt:

Damit ist eine stetige Funktion.